تحقیق. آزادی و آگاهی، دو عنصر بنیادی در تربیت اسلامی

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 8

آزادی و آگاهی، دو عنصر بنیادی در تربیت اسلامی

لا اِکراهَ فِی‌الدّینِ قَد تَبَیَّنَ الرُّشدُ مِنَ الغَیِّ . . . (بقره/ 256)

در کار دین اکراه روا نیست؛ چرا که راه از بیراهه به روشنی آشکار شده است . . .

برای تعریف آزادی در یک نوشتة کوتاه، لزومی به نقل آرای اندیشمندان نیست؛ بنابراین، به اجمال می‌توان گفت آزادی یعنی نبودن موانع بیرونی و درونی برای اندیشیدن و بیان اندیشه‌ نظر سنجیده و منطقی و بررسی شده. در بعضی کتاب‌ها، بحث آزادی اغلب به دنبال مطالب مربوط به دمکراسی و تعلیم و تربیت مطرح شده است. مثلاً جرج نلر در کتاب مبانی تربیتی خود می‌گوید: «دمکراسی، آزادی فردی را حفظ می‌کند و رشد می‌دهد . . .» (نلر، 45:1971)؛ بروباخر در کتاب فلسفه‌های نو در تعلیم و تربیت، از دمکراسی به عنوان آزادی یاد می‌کند و آزادی معلمان را یادآور می‌شود:

 معلمان باید از تأثیر عواملی که مانع بیان حقایق آن‌طور که  می‌بینند می‌شود، آزاد باشند. البته باید در رشتة خود کاملاً‌

 ماهر و با صلاحیت باشند که بتوانند حقیقت را بررسی نمایند. (بروباخر: 60:1969)

  اما آزادی در تربیت، ریشة ژرف و گستردة همة آزادی‌های  اجتماعی و سیاسی است. کسی که تربیتی آزادانه نداشته، بینش و نگرشی مستدل وعقلانی نیافته، از خودخواهی و هواهای نفسانی نرسته و آزادگی را درک نکرده است، چگونه می‌توانددر ایجاد جامعه‌ای آزاد و آگاه و قانون‌گرا و خالی از تعصب‌های نابخردانة گوناگون شرکت داشته باشد؟

افراد باید بتوانند با آزادی و آگاهی، هدف اعلای زندگی، هدف‌های میانی و رفتارهای قابل مشاهدده را از راه خردورزی برگزینند. در نظام تربیتی اسلام، عقل و بلوغ شرط تکلیف هستند و این عقل و بلوغ در پایان دورة کودکی و بیداری گرایش‌های دینی، با پرسش‌های اساسی و وجودی مانند «من کیستم؟»، «از کجا آمده‌ام؟» «به کجا می‌روم؟»، به توانایی شناخت و درک و فهم رمز و راز هستی، پیچیدگی موجودات، علم و نظم به کار رفته در خلقت آنها و بالاخره آفریدگار می‌رسد. تربیت اسلامی با بیان رشد و غی، آزادانه و بدون اکراه، آدمی را به بیشن و منش شایسته‌ای توجه می‌دهد که حیات طیبة او را در دنیا و آخرت تضمین می‌کند.

علامه طباطبایی می‌نویسد:

رشد یعنی یافتن راه کار و جادة مستقیم؛ و غی، مقابل آن است. بنابراین، رشد و غی اعم از هدی و ضلال است، زیرا هدی ـ چنان‌که گفته‌اند ـ عبارت است از یافتن راهی که به منزل می‌رسد و ضلال عبارت است از نیافتن آن؛ و ظاهراً یافتن جادة مستقیم، از مصادیق همان مبنای اول یعنی یافتن راه کار است، زیرا یافتن راه کار نسبت به راه‌پیما این است که جادة مستقیم را پیش گیرد و از آن دور شود. (طباطبایی، 1364: ج2، ص 482)

چرا تربیت دینی اجبار‌بردار نیست؟

وَقالَتِ الاَعرابُ آمَنّا قُل لَم تُؤمِنُوا وَ لکِن قُولُو اَسلَمنا وَ لَمّا یَدخُلِ الایمانُ فی قُلُوبِکُم . . . (حجرات/ 14)

اعراب گفتند: ایمان آورده‌ایم. بگو: هنوز ایمان (حقیقی) نیاورده‌اید؛ ولی بگویید اسلام آورده‌ایم، چرا که هنوز ایمان به دل‌هایتان راه نیافته است . . .

یعنی ایمان امری قلبی است؛ و چون امری قلبی است، اکراه و اجبار در آن راه ندارد.

در روان‌شناسی اجتماعی، در مورد سه اصطلاح پژوهش شده است: 1. متابعت، 2. همانندسازی، 3. درونی‌کردن. گفته‌اند متابعت به منظور کسب پاداش یا اجتناب از تنبیه است؛ همانندسازی مبتنی بر آرزوی شخصی برای همانندشدن با شخصیتی صاحب‌نفوذ است؛ و درونی‌کردن، ناشی از اعتقاد خاصی مبتنی بر این تمایل است که می‌خواهیم رفتار و افکارمان درست و صحیح باشد (ارونسون، 1367: 24ـ23). ایمان، درونی‌سازی نظام تربیتی الهی است؛ نظامی که دو رکن اساسی دارد: ایمان به خدا و عمل صالح. و این ایمان جز با آزادی در انتخاب حاصل نمی‌شود. شاید علت ایمان و عمل درست و نیکوی عده‌ای از مردان و زنانی که پس از شهریور بیست، به‌ویژه بعد از کودتای امریکایی ضدملی وارد دانشگاه‌ها شدند، این باشد که علی‌رغم جو مارکسیسم‌زده دانشگاه‌ها، با مطالعه آثار بزرگان آن روزگار و دیدن اعمال صادقانه آنها دست به انتخاب زدند و با اندیشه و تفکر و آزادی، اسلام را برگزیدند و آن را درونی کردند.

اما آگاهی چیست؟

قرآن به پیامبر(ص) می‌فرماید:

قُل هذِهِ سَبیلی اَدعُوا اِلَی‌اللهِ عَلی بَصیرَة اَنَا وَ مَنِ اتَّبَعَنی . . . (یوسف/ 108)

بگو این راه و رسم من است که من و هر کسی را که پیرو من باشد، با آگاهی به سوی خدا می‌خوانم.

بصیرت را بینایی دل، معرفت و درک، و حجت و دلیل معنی کرده‌اند (قرشی، 1352: ج1، ص 195) پس راهی که پیامبر(ص) و ائمه (ع) و پیروان راستین آنان، بر آن، مردم را به خدا دعوت می‌کنند، راه آگاهی و تعقل و تفکر و دلیل است. قرآن‌شناس بزرگ قرن پانزدهم هجری علامه طباطبایی می‌نویسد:

شما اگر کتاب الهی را تفحص کامل نموده و در آیاتش دقت فرمایید، خواهید دید شاید بیش از سیصد آیه هست که مردم را به تفکر و تذکر و تعقل دعوت نموده و یا به پیامبر ـ صلی‌الله علیه و آله ـ استدلالی را برای اثبات حقی و یا از بین‌بردن باطلی می‌آموزد . . . خداوند در قرآن خود و حتی در یک آیه نیز بندگان خود را امر نفرموده که نفهمیده به قرآن و یا به هر چیزی که از جانب او است، ایمان آورند و یا راهی را کورکورانه بپیمایند، حتی قوانین و احکامی که برای بندگان خود وضع کرده و عقل بشری به تفصیل ملاک‌های آنها را درک نمی‌کند به خبرهایی که در مجرای احتیاجات قرار دارد، علت آورده (المیزان، ج 5، ص 394) از جمله آیاتی که امام هفتم حضرت موسی‌بن‌جعفر ـ علیه‌السلام ـ آن را بشارت به اهل عقل و فهم دانسته‌اند این آیه است: (مطهری، 1371: 37):

ویژگی بنیادی مثلثات

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 27

تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی

اندازه کمان بر حسب رادیان، دایره مثلثاتی

دانش‌آموزان اولین چیزی را که در مطالعه توابع مثلثاتی باید بخاطر داشته باشند این است که شناسه‌های (متغیرهای) این توابع عبارت از اعداد حقیقی هستند. بررسی عباراتی نظیر sin1، cos15، (نه عبارات sin10، cos150،) ، cos (sin1) گاهی اوقات به نظر دانشجویان دوره‌های پیشدانگاهی مشکل می‌رسد.

با ملاحظه توابع کمانی مفهوم تابع مثلثاتی نیز تعمیم داده می‌شود. در این بررسی دانش‌آموزان با کمانی‌هایی مواجه خواهند شد که اندازه آن‌ها ممکن است بر حسب هر عددی از درجات هم منفی و هم مثبت بیان شود. مرحله اساسی بعدی عبارت از این است که اندازه درجه (اندازه شصت قسمتی) به اندازه رادیان که اندازه‌ای معمولی‌تر است تبدیل می‌شود. در حقیقت تقسیم یک دور دایره به 360 قسمت (درجه) یک روش سنتی است. اندازه زاویه‌ها برحسب رادیان بر اندازه طول کمان‌های دایره وابسته است. در اینجا واحد اندازه‌گیری یک رادیان است که عبارت از اندازه یک زاویه مرکزی است. این زاویه به کمانی نگاه می‌کند که طول آن برابر شعاع همان دایره است. بدین ترتیب اندازه یک زاویه بر حسب رادیان عبارت از نسبت طول کمان مقابل به زاویه بر شعاع دایره‌ای است که زاویه مطروحه در آن یک زاویه مرکزی است. اندازه زاویه برحسب رادیان را اندازه دوار زاویه نیز می‌گویند. از آنجا که محیط دایره‌ای به شعاع واحد برابر است از اینرو طول کمان برابر رادیان خواهد بود. در نتیجه برابر رادیان خواهد شد.

مثال1-1-1- کمانی به اندازه یک رادیان برابر چند درجه است؟

جواب: تناسب زیر را می‌نویسیم:

اگر باشد آنگاه یا را خواهیم داشت.

مثال 2-1-1 کمانی به اندازه رادیان برابر چند درجه است؟

حل: اگر و باشد آنگاه

2- دایره مثلثاتی. در ملاحظه اندازه یک کمان چه بر حسب درجه و چه برحسب رادیان آگاهی از جهت مسیر کمان از نقطه مبدا A1 به نقطه A2 حائز اهمیت است. مسیر کمان از نقطه مبدأ به نقطه مقصد در جهت خلاف حرکت عقربه‌های ساعت معمولاً مثبت در نظر گرفته می‌شود. در حالیکه در جهت حرکت عقربه‌های ساعت منفی منظور می‌شود.

معمولاً انتهای سمت راست قطر افقی دایره مثلثاتی به عنوان نقطه مبدأ اختیار می‌شود. نقطه مبدأ دایره دارای مختصات (1,0) خواهد بود. آن را بصورت A=A(1,0) نشان می‌دهیم. همچنین نقاط D,C,B از این دایره را بترتیب با مختصات B=(0,1)، C=(-1,0)، D=(0,-1) داریم.

دایره مثلثاتی را با S نشان می‌دهیم. طبق آنچه که ذکر شد چنین داریم:

3- پیچش محور حقیقی به دور دایره مثلثاتی. در تئوری توابع مثلثاتی نگاشت از R مجموعه اعداد حقیقی روی دایره مثلثاتی که با شرایط زیر انجام می‌شود نقش اساسی را ایفا می‌کند:

عدد t=0 روی محور اعداد حقیقی با نقطه : A همراه می‌شود.

اگر باشد آنگاه در دایره مثلثاتی نقطه را به عنوان نقطه مبدا کمان AP1 در نظر گرفته و بر محیط دایره مسیری به طول T را در جهت مثبت اختیار می‌کنیم، نقطه مقصد این مسیر را با Pt نشان داده و عدد t را با نقطه Pt روی دایره مثلثاتی همراه می‌کنیم. یا به عبارت دیگر نقطه Pt تصویر نقطه A=P0 خواهد بود وقتی که صفحه مختصاتی حول مبدا مختصاتی به اندازه t رادیان چرخانده شود.

اگر باشد آنگاه با شروع از نقطه A بر محیط دایره در جهت منفی، مسیری به طول را مشخص می‌کنیم. فرض کنید که Pt نقطه مقصد این مسیر را نشان دهد و نقطه‌ای متناظر به عدد منفی t باشد.

همانطوریکه ملاحظه شد جوهره نگاشت : P این نکته را می‌رساند که نیم‌محور مثبت اعداد حقیقی در جهت مثبت بر روی S می‌خوابد؛ در حالیکه نیم‌محور منفی اعداد حقیقی در جهت منفی بر روی S می‌خوابد. این نگاشت بک‌بیک نیست: اگر به عدد متناظر باشد یعنی اگر F=P باشد آنگاه این نقطه نیز به اعداد متناظر خواهد بود:

در حقیقت با افزودن مسیری با طول (در جهت مثبت و یا در جهت منفی) به مسیری به طول t مجدداً به نقطه F خواهیم رسید. نگاره وارون کامل P-1(Pt) نقطه Pt با مجموعه تطابق دارد.

توجه: عدد t معمولاً با نقطه pt که متناظر به این عدد است یکی در نظر گرفته می‌شود، با این حال مسائل باید به موضوع مطروحه نیز توجه کرد.

مثال4-1-1- همه اعداد را که متناظر به نقطه با مختصات است تحت نگاشت P بدست آورید.

حل: بدلیل رابطه زیر نقطه F عملا روی S قرار دارد:

فرض می‌کنیم که Y,X پای عمودهای مرسوم از نقطه F بر روی محورهای مختصاتی OX و OY باشند (شکل 3). آنگاه بوده و XFO مثلث متساوی‌‌الساقین قائم‌الزاویه خواهد بود: بدین ترتیب اندازه کمان AF برابر بوده و به نقطه F فقط اعداد متناظر می‌شود.

یک تابع متناوب دارای دورهای تناوب نامتناهی است؛ به اینصورت که بر اساس دوره تناوب T و به ازاء هر عددی بصورت که در آن به صورت یک عدد صحیح است تابع دارای یک دوره تناوب می‌شود. کوچکترین دوره تناوب مثبت یک تابع متناوب را دوره تناوب بنیادی می‌نامند.

قضیه1-1. توابع و با دوره تناوب بنیادی متناوب هستند.

قضیه 2-1. توابع و با دوره‌ تناوب بنیادی متناوب هستند.

ویژگی بنیادی مثلثات

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 27

تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی

اندازه کمان بر حسب رادیان، دایره مثلثاتی

دانش‌آموزان اولین چیزی را که در مطالعه توابع مثلثاتی باید بخاطر داشته باشند این است که شناسه‌های (متغیرهای) این توابع عبارت از اعداد حقیقی هستند. بررسی عباراتی نظیر sin1، cos15، (نه عبارات sin10، cos150،) ، cos (sin1) گاهی اوقات به نظر دانشجویان دوره‌های پیشدانگاهی مشکل می‌رسد.

با ملاحظه توابع کمانی مفهوم تابع مثلثاتی نیز تعمیم داده می‌شود. در این بررسی دانش‌آموزان با کمانی‌هایی مواجه خواهند شد که اندازه آن‌ها ممکن است بر حسب هر عددی از درجات هم منفی و هم مثبت بیان شود. مرحله اساسی بعدی عبارت از این است که اندازه درجه (اندازه شصت قسمتی) به اندازه رادیان که اندازه‌ای معمولی‌تر است تبدیل می‌شود. در حقیقت تقسیم یک دور دایره به 360 قسمت (درجه) یک روش سنتی است. اندازه زاویه‌ها برحسب رادیان بر اندازه طول کمان‌های دایره وابسته است. در اینجا واحد اندازه‌گیری یک رادیان است که عبارت از اندازه یک زاویه مرکزی است. این زاویه به کمانی نگاه می‌کند که طول آن برابر شعاع همان دایره است. بدین ترتیب اندازه یک زاویه بر حسب رادیان عبارت از نسبت طول کمان مقابل به زاویه بر شعاع دایره‌ای است که زاویه مطروحه در آن یک زاویه مرکزی است. اندازه زاویه برحسب رادیان را اندازه دوار زاویه نیز می‌گویند. از آنجا که محیط دایره‌ای به شعاع واحد برابر است از اینرو طول کمان برابر رادیان خواهد بود. در نتیجه برابر رادیان خواهد شد.

مثال1-1-1- کمانی به اندازه یک رادیان برابر چند درجه است؟

جواب: تناسب زیر را می‌نویسیم:

اگر باشد آنگاه یا را خواهیم داشت.

مثال 2-1-1 کمانی به اندازه رادیان برابر چند درجه است؟

حل: اگر و باشد آنگاه

2- دایره مثلثاتی. در ملاحظه اندازه یک کمان چه بر حسب درجه و چه برحسب رادیان آگاهی از جهت مسیر کمان از نقطه مبدا A1 به نقطه A2 حائز اهمیت است. مسیر کمان از نقطه مبدأ به نقطه مقصد در جهت خلاف حرکت عقربه‌های ساعت معمولاً مثبت در نظر گرفته می‌شود. در حالیکه در جهت حرکت عقربه‌های ساعت منفی منظور می‌شود.

معمولاً انتهای سمت راست قطر افقی دایره مثلثاتی به عنوان نقطه مبدأ اختیار می‌شود. نقطه مبدأ دایره دارای مختصات (1,0) خواهد بود. آن را بصورت A=A(1,0) نشان می‌دهیم. همچنین نقاط D,C,B از این دایره را بترتیب با مختصات B=(0,1)، C=(-1,0)، D=(0,-1) داریم.

دایره مثلثاتی را با S نشان می‌دهیم. طبق آنچه که ذکر شد چنین داریم:

3- پیچش محور حقیقی به دور دایره مثلثاتی. در تئوری توابع مثلثاتی نگاشت از R مجموعه اعداد حقیقی روی دایره مثلثاتی که با شرایط زیر انجام می‌شود نقش اساسی را ایفا می‌کند:

عدد t=0 روی محور اعداد حقیقی با نقطه : A همراه می‌شود.

اگر باشد آنگاه در دایره مثلثاتی نقطه را به عنوان نقطه مبدا کمان AP1 در نظر گرفته و بر محیط دایره مسیری به طول T را در جهت مثبت اختیار می‌کنیم، نقطه مقصد این مسیر را با Pt نشان داده و عدد t را با نقطه Pt روی دایره مثلثاتی همراه می‌کنیم. یا به عبارت دیگر نقطه Pt تصویر نقطه A=P0 خواهد بود وقتی که صفحه مختصاتی حول مبدا مختصاتی به اندازه t رادیان چرخانده شود.

اگر باشد آنگاه با شروع از نقطه A بر محیط دایره در جهت منفی، مسیری به طول را مشخص می‌کنیم. فرض کنید که Pt نقطه مقصد این مسیر را نشان دهد و نقطه‌ای متناظر به عدد منفی t باشد.

همانطوریکه ملاحظه شد جوهره نگاشت : P این نکته را می‌رساند که نیم‌محور مثبت اعداد حقیقی در جهت مثبت بر روی S می‌خوابد؛ در حالیکه نیم‌محور منفی اعداد حقیقی در جهت منفی بر روی S می‌خوابد. این نگاشت بک‌بیک نیست: اگر به عدد متناظر باشد یعنی اگر F=P باشد آنگاه این نقطه نیز به اعداد متناظر خواهد بود:

در حقیقت با افزودن مسیری با طول (در جهت مثبت و یا در جهت منفی) به مسیری به طول t مجدداً به نقطه F خواهیم رسید. نگاره وارون کامل P-1(Pt) نقطه Pt با مجموعه تطابق دارد.

توجه: عدد t معمولاً با نقطه pt که متناظر به این عدد است یکی در نظر گرفته می‌شود، با این حال مسائل باید به موضوع مطروحه نیز توجه کرد.

مثال4-1-1- همه اعداد را که متناظر به نقطه با مختصات است تحت نگاشت P بدست آورید.

حل: بدلیل رابطه زیر نقطه F عملا روی S قرار دارد:

فرض می‌کنیم که Y,X پای عمودهای مرسوم از نقطه F بر روی محورهای مختصاتی OX و OY باشند (شکل 3). آنگاه بوده و XFO مثلث متساوی‌‌الساقین قائم‌الزاویه خواهد بود: بدین ترتیب اندازه کمان AF برابر بوده و به نقطه F فقط اعداد متناظر می‌شود.

یک تابع متناوب دارای دورهای تناوب نامتناهی است؛ به اینصورت که بر اساس دوره تناوب T و به ازاء هر عددی بصورت که در آن به صورت یک عدد صحیح است تابع دارای یک دوره تناوب می‌شود. کوچکترین دوره تناوب مثبت یک تابع متناوب را دوره تناوب بنیادی می‌نامند.

قضیه1-1. توابع و با دوره تناوب بنیادی متناوب هستند.

قضیه 2-1. توابع و با دوره‌ تناوب بنیادی متناوب هستند.

دانلود پاورپوینت حرکات بنیادی

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

دسته بندی : پاورپوینت

نوع فایل :  .ppt ( قابل ویرایش و آماده پرینت )

تعداد اسلاید : 7 اسلاید

 قسمتی از متن .ppt : 

حرکات بنیادی

تهیه و ارائه: دکتر عباس نقی زاده باقی

مدل نظری رشد توانایی های تعادل

غلت زدن

غلت زدن با جابه جایی همراه است اما به دلیل نیاز زیاد به تعادل در دسته حرکات بنیادی استواری قرار داده شده است.

حفظ تعادل،در لحظه ی که بدن به طور لحظه ای واژگون شده و در فضاحرکت می کند لازم است.

مرحله ابتدایی

1.تماس سر با زمین ،وزن را روی سر قرار میدهد،

2. عدم حفظ وضعیت خمیده بدن به شکل c به دلیل کم بودن قدرت عضلات شکم

3.صاف کردن پاها در جبران عقب ماندن سر و تنه

4. ناتوانی در استفاده هماهنگ از دست ها وپاها (فشار بیشتر با یک دست وپا)

5. ناتوانی در انجام غلت به عقب وپهلو

6. ناتوانی در قرار گیری در وضعیت L پس از غلت جلو

7. فرد مبتدی با یک پا به زمین نیرو وارد میکند

8. عمل دست به چرخش کمک نمیکند

9.غلت زدن با نیروی جاذبه ادامه می یابد

ویژگی بنیادی مثلثات

لینک دانلود و خرید پایین توضیحات

فرمت فایل word  و قابل ویرایش و پرینت

تعداد صفحات: 27

تعاریف و ویژگی‌های بنیادی توابع مثلثاتی

اندازه کمان بر حسب رادیان، دایره مثلثاتی

دانش‌آموزان اولین چیزی را که در مطالعه توابع مثلثاتی باید بخاطر داشته باشند این است که شناسه‌های (متغیرهای) این توابع عبارت از اعداد حقیقی هستند. بررسی عباراتی نظیر sin1، cos15، (نه عبارات sin10، cos150،) ، cos (sin1) گاهی اوقات به نظر دانشجویان دوره‌های پیشدانگاهی مشکل می‌رسد.

با ملاحظه توابع کمانی مفهوم تابع مثلثاتی نیز تعمیم داده می‌شود. در این بررسی دانش‌آموزان با کمانی‌هایی مواجه خواهند شد که اندازه آن‌ها ممکن است بر حسب هر عددی از درجات هم منفی و هم مثبت بیان شود. مرحله اساسی بعدی عبارت از این است که اندازه درجه (اندازه شصت قسمتی) به اندازه رادیان که اندازه‌ای معمولی‌تر است تبدیل می‌شود. در حقیقت تقسیم یک دور دایره به 360 قسمت (درجه) یک روش سنتی است. اندازه زاویه‌ها برحسب رادیان بر اندازه طول کمان‌های دایره وابسته است. در اینجا واحد اندازه‌گیری یک رادیان است که عبارت از اندازه یک زاویه مرکزی است. این زاویه به کمانی نگاه می‌کند که طول آن برابر شعاع همان دایره است. بدین ترتیب اندازه یک زاویه بر حسب رادیان عبارت از نسبت طول کمان مقابل به زاویه بر شعاع دایره‌ای است که زاویه مطروحه در آن یک زاویه مرکزی است. اندازه زاویه برحسب رادیان را اندازه دوار زاویه نیز می‌گویند. از آنجا که محیط دایره‌ای به شعاع واحد برابر است از اینرو طول کمان برابر رادیان خواهد بود. در نتیجه برابر رادیان خواهد شد.

مثال1-1-1- کمانی به اندازه یک رادیان برابر چند درجه است؟

جواب: تناسب زیر را می‌نویسیم:

اگر باشد آنگاه یا را خواهیم داشت.

مثال 2-1-1 کمانی به اندازه رادیان برابر چند درجه است؟

حل: اگر و باشد آنگاه

2- دایره مثلثاتی. در ملاحظه اندازه یک کمان چه بر حسب درجه و چه برحسب رادیان آگاهی از جهت مسیر کمان از نقطه مبدا A1 به نقطه A2 حائز اهمیت است. مسیر کمان از نقطه مبدأ به نقطه مقصد در جهت خلاف حرکت عقربه‌های ساعت معمولاً مثبت در نظر گرفته می‌شود. در حالیکه در جهت حرکت عقربه‌های ساعت منفی منظور می‌شود.

معمولاً انتهای سمت راست قطر افقی دایره مثلثاتی به عنوان نقطه مبدأ اختیار می‌شود. نقطه مبدأ دایره دارای مختصات (1,0) خواهد بود. آن را بصورت A=A(1,0) نشان می‌دهیم. همچنین نقاط D,C,B از این دایره را بترتیب با مختصات B=(0,1)، C=(-1,0)، D=(0,-1) داریم.

دایره مثلثاتی را با S نشان می‌دهیم. طبق آنچه که ذکر شد چنین داریم:

3- پیچش محور حقیقی به دور دایره مثلثاتی. در تئوری توابع مثلثاتی نگاشت از R مجموعه اعداد حقیقی روی دایره مثلثاتی که با شرایط زیر انجام می‌شود نقش اساسی را ایفا می‌کند:

عدد t=0 روی محور اعداد حقیقی با نقطه : A همراه می‌شود.

اگر باشد آنگاه در دایره مثلثاتی نقطه را به عنوان نقطه مبدا کمان AP1 در نظر گرفته و بر محیط دایره مسیری به طول T را در جهت مثبت اختیار می‌کنیم، نقطه مقصد این مسیر را با Pt نشان داده و عدد t را با نقطه Pt روی دایره مثلثاتی همراه می‌کنیم. یا به عبارت دیگر نقطه Pt تصویر نقطه A=P0 خواهد بود وقتی که صفحه مختصاتی حول مبدا مختصاتی به اندازه t رادیان چرخانده شود.

اگر باشد آنگاه با شروع از نقطه A بر محیط دایره در جهت منفی، مسیری به طول را مشخص می‌کنیم. فرض کنید که Pt نقطه مقصد این مسیر را نشان دهد و نقطه‌ای متناظر به عدد منفی t باشد.

همانطوریکه ملاحظه شد جوهره نگاشت : P این نکته را می‌رساند که نیم‌محور مثبت اعداد حقیقی در جهت مثبت بر روی S می‌خوابد؛ در حالیکه نیم‌محور منفی اعداد حقیقی در جهت منفی بر روی S می‌خوابد. این نگاشت بک‌بیک نیست: اگر به عدد متناظر باشد یعنی اگر F=P باشد آنگاه این نقطه نیز به اعداد متناظر خواهد بود:

در حقیقت با افزودن مسیری با طول (در جهت مثبت و یا در جهت منفی) به مسیری به طول t مجدداً به نقطه F خواهیم رسید. نگاره وارون کامل P-1(Pt) نقطه Pt با مجموعه تطابق دارد.

توجه: عدد t معمولاً با نقطه pt که متناظر به این عدد است یکی در نظر گرفته می‌شود، با این حال مسائل باید به موضوع مطروحه نیز توجه کرد.

مثال4-1-1- همه اعداد را که متناظر به نقطه با مختصات است تحت نگاشت P بدست آورید.

حل: بدلیل رابطه زیر نقطه F عملا روی S قرار دارد:

فرض می‌کنیم که Y,X پای عمودهای مرسوم از نقطه F بر روی محورهای مختصاتی OX و OY باشند (شکل 3). آنگاه بوده و XFO مثلث متساوی‌‌الساقین قائم‌الزاویه خواهد بود: بدین ترتیب اندازه کمان AF برابر بوده و به نقطه F فقط اعداد متناظر می‌شود.

یک تابع متناوب دارای دورهای تناوب نامتناهی است؛ به اینصورت که بر اساس دوره تناوب T و به ازاء هر عددی بصورت که در آن به صورت یک عدد صحیح است تابع دارای یک دوره تناوب می‌شود. کوچکترین دوره تناوب مثبت یک تابع متناوب را دوره تناوب بنیادی می‌نامند.

قضیه1-1. توابع و با دوره تناوب بنیادی متناوب هستند.

قضیه 2-1. توابع و با دوره‌ تناوب بنیادی متناوب هستند.